Systèmes (2) - Corrigé

Énoncé

Soit les matrices  \(A=\begin{pmatrix} -2&-5&-1\\3&5&-1\\1&5&8 \end{pmatrix}\) ,   \(P=\begin{pmatrix} 1&2&1\\1&0&2\\2&1&1 \end{pmatrix}\) et  \(S=\begin{pmatrix} 10\\5\\15 \end{pmatrix}\) .

1. Calculer  \(B=PA\) . Que remarque-t-on sur les coefficients de cette matrice ?

2. Pourquoi est-il aisé de résoudre le système  \(BX=S\)  ? Le résoudre.

3. Vérifier que  \(P\)  est inversible et que  \(P^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} -2&-1&4\\3&-1&-1\\1&3&-2 \end{pmatrix}\) .

4. Résoudre  \(AX=S\)  en utilisant les questions précédentes. 

Solution 

1.  \(B=\begin{pmatrix} 5&10&5\\0&5&15\\0&0&5 \end{pmatrix}\)
On remarque que tous les coefficients situé en-dessous de la diagonale de cette matrice sont nuls. On appelle cela une matrice triangulaire.

2. Comme la matrice est triangulaire, on peut déduire de proche en proche les coefficients de la matrice  \(X=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\)  en commençant par  \(z\)  puis  \(y\)  puis enfin  \(x\)
\(5z=15\)  donc  \(z=3\)
\(5y+15z=75\)  donc  \(y=6\)
\(5x+10y+5z=100\)  donc  \(x=2\)

3. On vérifie aisément que  \(PP^{-1}=I_3\)

4. On sait que, par définition,  \(B=PA\) et  \(P\)  est inversible, donc  \(A=P^{-1}B\) .
Résoudre  \(AX=S\)  revient donc à résoudre  \(P^{-1}BX=S\)  ou encore en multipliant à gauche par  \(P\)  les deux membres,  \(BX=PS\) .
Il faut donc calculer le produit  \(PS\)  et appliquer la même méthode qu'à la question 2.
On obtient  \(X=\dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 1575\\-752\\290 \end{pmatrix}\) .